La versione originale Di questa storia apparso in Rivista Quanti.
Immagina un bizzarro esercizio di allenamento: un gruppo di corridori inizia a fare jogging su una pista circolare, con ciascun corridore che mantiene un ritmo unico e costante. Ogni corridore si ritroverà “solo” o relativamente lontano da tutti gli altri, almeno una volta, indipendentemente dalla velocità?
I matematici ipotizzano che la risposta sia sì.
Il problema del “corridore solitario” potrebbe sembrare semplice e irrilevante, ma si presenta in molte forme in tutta la matematica. È equivalente a domande di teoria dei numeri, geometria, teoria dei grafi e altro ancora: su quando è possibile avere una visuale libera in un campo di ostacoli, o dove le palle da biliardo potrebbero muoversi su un tavolo, o come organizzare una rete. “Ha così tante sfaccettature. Tocca così tanti campi matematici diversi”, ha detto Mattia Beck dell’Università Statale di San Francisco.
Solo per due o tre corridori la dimostrazione della congettura è elementare. I matematici lo hanno dimostrato per quattro corridori negli anni ’70 e nel 2007 hanno ottenuto fino alle sette. Ma negli ultimi vent’anni nessuno è stato in grado di fare ulteriori progressi.
Poi l’anno scorso, Matthieu Rosenfeldmatematico del Laboratorio di Informatica, Robotica e Microelettronica di Montpellier, ha risolto la congettura per otto corridori. E nel giro di poche settimane, venne nominato uno studente universitario del secondo anno dell’Università di Oxford Tanupat (Paolo) Trakulthongchai costruito sulle idee di Rosenfeld per dimostrarlo nove e 10 corridori.
L’improvviso progresso ha rinnovato l’interesse per il problema. “È davvero un salto di qualità”, ha detto Beck, che non è stato coinvolto nel lavoro. Aggiungere un solo corridore rende il compito di dimostrare la congettura “esponenzialmente più difficile”, ha detto. “Passare da sette corridori advert oggi 10 corridori è sorprendente.”
Lo scatto iniziale
All’inizio, il problema del corridore solitario non aveva nulla a che fare con la corsa.
Invece, i matematici erano interessati a un problema apparentemente non correlato: come utilizzare le frazioni per approssimare numeri irrazionali come il pi greco, un compito che ha un vasto numero di applicazioni. Negli anni ’60, uno studente laureato di nome Jörg M. Wills lo ha ipotizzato un metodo secolare per farlo è ottimale: non c’è modo di migliorarlo.
Nel 1998, un gruppo di matematici riscritto quella congettura nel linguaggio della corsa. Dire N i corridori partono dallo stesso punto su una pista circolare lunga 1 unità e ciascuno corre a una velocità costante diversa. La congettura di Wills equivale a dire che ogni corridore prima o poi si ritroverà sempre solo, indipendentemente dalla velocità degli altri corridori. Più precisamente ogni corridore si troverà advert un certo punto advert una distanza di almeno 1/N da qualsiasi altro corridore.
Quando Wills vide il documento del corridore solitario, inviò un’e-mail a uno degli autori, Luis Goddyn della Simon Fraser College, per congratularsi con lui per “questo nome meraviglioso e poetico”. (La risposta di Goddyn: “Oh, sei ancora vivo.”)
I matematici hanno anche dimostrato che il problema del corridore solitario equivale a un’altra domanda ancora. Immagina un foglio infinito di carta millimetrata. Al centro di ogni griglia, posiziona un quadratino. Quindi inizia da uno degli angoli della griglia e traccia una linea retta. (La linea può puntare in qualsiasi direzione diversa da quella perfettamente verticale o orizzontale.) Quanto possono diventare grandi i quadrati più piccoli prima che la linea ne colpisca uno?
Man mano che le versioni del problema del corridore solitario proliferavano in tutta la matematica, l’interesse per la questione cresceva. I matematici hanno dimostrato diversi casi di congettura utilizzando tecniche completamente various. A volte si affidavano agli strumenti della teoria dei numeri; altre volte si sono rivolti alla geometria o alla teoria dei grafi.
